как там появился артангенс?

Это результат преобразования u с помощью формулы

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).

Смотрите:

u = R*Im*sin(wt + f) + w*L*Im*sin(wt + f + п/2) [применяем формулу приведения]
= R*Im*sin(wt + f) + w*L*Im*cos(wt + f)
= Im * (R*sin(wt + f) + w*L*cos(wt + f))

В первом слагаемом уже есть синус, а во втором - косинус (углу а из формулы для синуса суммы здесь соответствует угол wt+f). Нужно еще организовать в первом слагаемом косинус некоего угла b, а во втором - синус того же угла b. Ввиду основного тригонометричиского тождества сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, поэтому вынесем из суммы за скобки корень из суммы квадратов R и w*L:

u = Im * sqrt(R^2 + w^2*L^2) * ((R / sqrt(R^2 + w^2*L^2))*sin(wt + f) + (w*L / sqrt(R^2 + w^2*L^2))*cos(wt + f))

Обозначим теперь

cos(b) = R / sqrt(R^2 + w^2*L^2),
sin(b) = w*L / sqrt(R^2 + w^2*L^2)

Tогда

tg(b) = w*L / R,
b = arctg(w*L / R)

и мы получаем интересующую вас формулу. Понятно?