Основание пирамиды правильный треугольник со стороной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, а два других наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. Определите объем пирамиды.
1) Объем данного вида пирамиды - можно определить как шестую часть от объема правильной шестиугольной пирамиды.
2) объем правильной N-угольной пирамиды со стороной а и высотой Н равен:
V(N) = [H*N*a^2]/[12*tg(180/N)].
3) тогда для правильной 6-угольной пирамиды имеем (tg(30) = 1/V3):
V(6) = [H*6*a^2]/12*tg(30) =
= [H*a^2]/[2*(1/V3) = [H*(V3)*6^2]/2 =
= H*18V3.
4) Тогда шестая часть от объема правильной 6-угольной пирамиды
(1/6)*V = Н*3V3.
5) Высоту пирамиды определим на основании теоремы: катет прямоугольного треугольника = другому катету, умноженному на тангенс противолежащего угла:
H =a*tg(30) = 6*(1/V3) = 6/V3,
6) с учетом 4) имеем:
(1/6)*V = Н*3V3 = [6*3V3]/V3 = 18.
ОТВЕТ: 18 куб. ед.
⇢