Сколько раз за четверть должны проводиться контрольные по математике в 4 классе? Не ну понятно, что по желание педагога

Каждый месяц разный

по поводу учебников так это не так. все зависит от самих частей. Например у меня по русскому второй частью названо приложение со словарями, к полугодиям это никак не относится. Часть учебника легче носить чем весь, а эту часть и за 3 четверти можно не пройти (такое бывало) .
Контрольные чисто по желанию учителя не зависимо от класса. Как пример, так по биологии маленькие проверочные у меня почти каждый урок. в начальной школе все тоже. Но обычно их проводят по окончанию прохождения темы (прошли дроби написали к/р) . А если тема большая то могут устраиваться самостоятельные по окончанию какой-то части.
а кстати у учителей можно попросить план занятий, по крайней мере у меня в школе есть. Там описаны примерные даты и количество контрольных работ