Почему у меня почернела ложка катод в процессе электролиза. Ведь растворяется только анод.

Ну если анод растворяется - на катоде ЧТО-НИБУДЬ должно ВЫДЕЛЯТЬСЯ. Как говорил Ломоносов? Если в одном месте убудет - в другом непременно прибудет: -)
Вопрос - ЧТО выделяется.... Может растворённый металл в виде "черни", а может что-то из электролита.. . зависит от состава последнего