предел в точке существует, существует ли производная

Когда мы говорим о пределе, то всегда подразумеваем, что речь идёт о последовательности (ряде) точек. Предел функции это предел для целого ряда точек. А когда сказано "предел в точке" это значит, что для конкретной отдельной точки Х есть вычислимое значение Y, только и всего. Без сомнения, соседние точки существуют, и он вычислимы.
Но это не решает вопроса, как эти соседние точки расположены попарно, например как одна из них соседних расположена относительно "предельной точки. " Касательная через эту пару может быть вертикальной, то есть функция не дифференцируема в предельной точке.
Пример - крайняя боковая точка окружности. Функция её достигает, точка вычисляется, но кривая заворачивает назад! Все точки окружности вычисляются как конечные, но в двух точках окружности производная не вычисляется.