Сколько существует трехзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих чисел?

Если число в 5 раз больше, то оно оканчивается либо на 0, либо на 5. Но 0 быть не может ни в одной позиции (иначе произведение равно 0 и условие не выполняется) . Таким образом получаем числа вида XY5, т. е. X*100+Y*10+5, где X и Y могут принимать значения от 1 до 9.

Из условия задачи: X*100+Y*10+5=5*(X*Y*5) => X*20+Y*2+1 = 5*X*Y.

Левая часть всегда нечётная, следовательно правая часть всегда оканчивается на 5 и, следовательно, X и Y не могут быть чётными.

Но левая часть оканчивается на 5 только при (Y*2+1)=5 => Y=1, или (Y*2+1)=15 => Y=7.

Пусть Y=1. Получаем: 20*X+2*1+1=5*X*1 => 20*X+5=5*X => 3*X=-1 => X не является целым числом.

Пусть Y=7. Получаем: 20*X+2*7+1=5*X*7 => 20*X+15=35*X => X=1 => ответ: 175.

Ответ: одно число 175.