Что обозначает дельта в пределах и какова ее роль?

Это называется «эпсилон-дельта» формализм. Этот трюк придумал Вейерштрасс, чтобы сформулировать определение предела, не используя бесконечно малые. Ничему, кроме этого, этот трюк не служит и ничего, кроме этого, не даёт. С 60-х годов 20-го века математики твёрдо усвоили наконец, что формализм бесконечно малых в анализе ничем не хуже, когда как много премного проще и умнее. Но учебные курсы анализа по прежнему впаривают всем нам это глупейшее тарабарское определение предела, вместо простого и ежу понятного определения через бесконечно малые.