Почему в вопросе "Does Dad have any brothers or sisters?" после dad идет have, ведь в третьем лице единственного числа употребляется has?
Здесь форму 3-го лица принял на себя вспомогательный глагол do, а именно, does.
Тогда основной глагол должен быть в форме инфинитива.
Можно и так спросить: Has your Dad any brothers or sisters?
потому что does, S переносится в вопрос 
это время у вас present simple, для образования отрицательного и вопросительного предложения в этом времени используется вспомогательный глагол do (для I/you/we/they) и does (для he/she/it). в вопросительном предложении do/does ставится на первое место, потом подлежащее кто? , потом основной глагол.
Но! если у вас he/she/it и глагол с s-кой на конце, то она улетает во вспомогательный глагол и становится does. а если он улетает, то в основном глаголе.... его не остается.. .
Does she swim in the swimming-pool?
Does he walk in the park?
⇢