Дано число 345642353. Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов?

Давай попробуем подумать.
Начинается с четной, значит 4, 6, 2 в начале.
Четное, значит делится на 2, значит 4, 6, 2 в конце.

Пары начало - конец
(6 - 4, 4, 2) => (6 - 4, 2)
(4 - 6, 4, 2)
(2 - 6, 4, 4) => (2 - 6, 4)

Рассмотрим варианты:
6 - 4 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5)
6 - 2 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2! * 2!) вариантов (3 и 2 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5 и 2 повторяющихся 4).

4 - 6 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5)
4 - 4 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5)
4 - 2 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5)

2 - 6 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5 и 2 повторяющихся 4).
2 - 4 => 7 цифр между ними, => 7! / (3! * 2!) вариантов (3 и 2 - для 3 повторяющихся 3 и 2 повторяющихся 5).

Все результаты сложить и получишь ответ. Хотя в вычисления могла закрасться ошибка.