Какие были средства связи на расстоянии в США и России в конце 19 или начала 20 века?

Разных средств связи было много.
Помимо обычных бумажных писем, доставляемых всеми известными на тот момент средствами транспорта, был проводной телеграф, затем - беспроводной телеграф (радиотелеграф), а вскоре и радиосвязь в телефонном режиме. В последнюю четверть ХIХ века получил широкое развитие проводной телефон.
Кроме этого, в армиях практически всех развитых стран оставались штатные голубятни, обеспечивавшие голубиную почту (это средство связи, как принятое в армии, фигурирует даже в советском фильме "Застава в горах" 1953 года, а в годы Первой Мировой она еще никому не казалась анахронизмом).
На военных флотах всех стран кроме перечисленных, в условиях прямой видимости применялись флажковая связь и световой телеграф. Они обладали тем преимуществом перед радио, что сообщения не могли быть перехвачены противником, если он был за пределами визуального контакта.