Должен ли я предупреждать сотрудника ГАИ, что я веду видеосъёмку нашей с ним беседы?

Не знаю как с правовой стороны но с этической да должны.

нет, если не собираетесь ее опубликовать.

Нет не обязан предупреждать даже что пернешь в свое удовольствие

Набери юредический блог Евгения Волкова там много полезных советов как вести себя с гайцами

Он находится на государственной работе, а не в собственной ванной!