Доброго времени суток! Вопрос на тему пределов ф-ии.

Question

Интуитивно понятно, что предел - это некое принимаемое значение, выйти за границы которого ф-ия не может. 
 
Формальное определение предела ф-ии в бесконечности звучит как: 
 
Число A называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся 
к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого 
положительного e, найдется такое число M (зависящее от e), что для всех x 
таких, что |x| > M, выполнено неравенство: | f(x) -A | < e. 
 
Про e все понятно, ф-ия может асимптотично стремится к А, но никогда его не достигнуть, отсюда и неравенство 
| f(x) -A | < e 
 
Но для чего в определении вводится некое М, в отрезок между которыми (-M,M) х даже не попадает?

Сергей Шеметов · Accepted Answer

функция f(x) должна не просто болтаться возле некого значения А, но по мере удаления от 0 приближаться к этому значению 
если задать некий диапазон отклонения функции от какого-то числа, то "хвост" функции должен влезть в этот диапазон, а хвостом назовем диапазон от некого числа М до бесконечности 
если уменьшить диапазон отклонения функции, то хвост функции, целиком попадающий в этот диапазон может еще сместиться в сторону бесконечности, началом этого хвоста может быть новая точка М 
если же для каких-то значений е мы не можем найти таких больших значений аргумента, что хвост функции влезет в диапазон, то значит что такая функция "болтается" вокруг да около, но не стремится к числу А 
****************** 
хвостом функции я понимаю участок графика функции от некоторого значения по оси х до бесконечности