Являются ли слова берёзовая (кора) и берестяная (посуда) однокоренными? Если да, то почему?

Являются. У древних славян существовало слово бер, означающее «светлый» , «ясный» , «блестящий» , «белый» . Именно от бер и образовалась сначала берза, а потом береза. Хотя мы и считаем березу исконно русским деревом, символом России, название его знакомо большинству индоевропейских народов. Оно восходит к корню, уходящему в глубокую древность, и обозначает, как уже отметили, не только белизну, но и блеск. Название коры березы – береста – связано с тем же корнем.