чем отличается работа катушки индуктивности в цепи при подключении параллельного тока от подключения постоянного тока?

Без эстетики.
В постоянном работает как активное сопротивление (резистор)
При переменном как индуктивность (реактивное сопротивление - чем выше частота - тем выше реактивное сопротивление)