Можно ли найти математический интеграл зная только лишь сколько сантиметров улыбка у Чеширского кота?

Можно, ведь улыбка Чеширского кота напоминает сегмент параболы.
Ещё Архимед доказал, что площадь сегмента равна удвоенной площади части плоскости, образованной касательными и дугой параболы:

Здесь подробно: http://kvant.info/panov/sq_parab/sq_parab.html
Результат:

Вывод: определенный интеграл как раз и является площадью подобной фигуры (криволинейной трапеции)