Почему в формуле стандартного отклонения разница между средним и числом возводится в квадрат?

Ответ на самом деле проще некуда: ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. И весь разговор.

Ну ладно, коммент. Почему именно такое определение было предложено.
Потому что именно усреднённый квадрат разности лучше всего описывает ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО наблюдаемые случайные процессы. Чаще всего такие процессы описываются нормальным распределением (Гауссово распределение) - exp(-x²/σ²), с точностью до разных коэффициентов. И вот если стандарнтное отклонение σ определить ИМЕННО ТАК - как усреднённую разность квадратов - то получается соответствие формулы тому, что наблюдается экспериментально.
Кроме того, сумма квадратов равна нудб тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю. То есть если у нас есть какое-то симметричное распределение, то его среднее значение может быть и нулём (шумовой сигнал, например) . И даже среднее отклонение может быть нулём, если его брать в первой степени. а вот если степень чётная - то фигушки. Если есть какое-то отклонение от константы - привет, в сумме КВАДРАТОВ появляются ненулевые слагаемые. То есть отличие средеКВАДРАТИЧЕСКОГО отклонения от нуля есть гарантия того, что данная величина - не константа.