№1:Расстояния от центра окружности, вписанной в прямоугольном треугольнике ABC,до его вершин A и B равны корня из 5 и из 10 соответственно. Найти катеты треугольника?
№2:Треугольник ABC, угол С=90 гр. , AB - хорда окружности с радиусом 10. Точка С лежит на диаметре этой окружности, параллельном гипотенузе. Угол CAB= 75 гр., Найти площадь треугольника ABC?
№1. Идея: пусть О - центр впис. окружности. Тогда, угол АОВ=135гр. По т. косинусов находим АВ. Высота трег. АОВ, опущенная из т. О на АВ - есть радиус впис. окружности. Из соображений площадей его легко найти. Тогда сумма катетов = АВ + 2радиуса впис. окр. Далее, т. Пифагора и получаем систему, из которой все и находим.
№2. Ответ: 50. Пусть h - высота, опущенная на гипотенузу АВ. Тогда, АВ=4h и искомая пл. = 2h^2. Для определения h получим уравнение:
(20 - 4h)/2 * (20 - (20 - 4h)/2)=h^2. Отсюда h^2=25. Это уравнение получается из того, что т. С лежит на диаметре окружности, а АВ ему параллельно.
⇢