Можно ли на моём компе восстановить всю переписку, которая когда-либо была на нём произведена?

Нет.. . нет.. . нет...

наврятли

Ну, во-первых, никто не знает, какой у Вас компьютер и какова переписка. Может, ему две недели и написано было три письма.
Никто не знает, какую очистку и как часто Вы производите. Дефрагментируете ли жесткий диск или нет. Используете ли шифрование диска.. .
Чем интенсивней используется жесткий диск, тем проблематичнее восстановить удаленную информацию. Файл, удаленный только что, восстановить легко. А если поверх этого места на диске несколько раз что-то перезаписали - потребуется специальное оборудование и то не факт, что восстановится.
Некоторые "программы для переписки" ведут архивы сообщений, которые сохраняются даже при удалении программы. Есть программы, "затирающие" удаленные файлы с использованием специальных алгоритмов чтобы их было невозможно восстановить.

Почтовая переписка на почтовых сервисах Yandex.ru, Mail.ru и т. п. хранится на серверах компаний. Если не удалял Входящие и Исходящие в Корзину, то все сообщения будут доступны после входа в твою почту на этих сервисах.
В почтовых программах типа Bat, Outlook Express, Microsoft Outlook и т. п. переписка сохраняется в папках этих программ непосредственно на компьютере. Если копии писем, проходящих через почтовую программу, дополнительно сохранялись на почтовом сервере без ограничения срока хранения, то их можно просмотреть на сервере компании в соответствующих папках войдя в почту.