Можно ли как-нибудь попробовать восстановить файлы с битой но читающейся карточки памяти для PSP?

Конечно можно.
Для того есть туча программ для восстановления данных с битых и не очень дисков. Их множество, но я посоветую Hetman Partition Recovery. http://hetmanrecovery.com/ru/
Она восстанавливает всё вплоть до структуры диска или карты. У самого есть приставка, проверял.