чтобы попадать в веб интерфейс не через mastermail.ru, а через mail.название
сайта. ru или название сайта. ru/mail?
2. чтобы в поле логина не надо было вводить адрес полностью (имя@нфзваниесайта. ru), а только имя?
Иван, часть требований, которые вы выдвигаете больше зависят не от
хостинга, а от сайта. Точнее - от системы управления. Хотя и на хостинге
может быть веб-интерфейс для управления почтой.
>>> 1. "чтобы попадать в веб интерфейс не через mastermail.ru, а через mail.название...."
Чтобы попадать в веб интерфейс так как вы хотите, подойдёт любой хостинг,
который позволяет создавать домены третьего уровня (mail.название сайта. ru)
и привязывать к сайту домены-синонимы. Удобнее всего подобное управление
реализовано в контрольной панели РуЦентра. Когда вы создадите домен,
можно будет сделать переадресацию на тот адрес, который вы захотите. В том числе
и на веб-интерфейс. Для варианта "сайта. ru/mail" будет достаточно переименовать
папку системы управления (от хостинга эта операция не зависит) .
>>> 2. "в поле логина не надо было вводить адрес полностью...."
Это уж точно прерогатива системы управления сайтом. Хостинг тут не причём.
К сожалению, систем управления, соответствующим вашим условиям не так много.
Можем предложить в качестве платформы сайта систему, разработанную нашей
компанией - Rainbow-CMS. В ней уже заложены все ваши требования. В любом
случае, мы готовы подстроить платформу и все её функции как вам будет удобно 
⇢