Есть ли в ветеринарии такое понятие как анализы? Животным можно сдавать анализы?

разумеется, есть. Конечно, можно

Есть. Анализы делают.

и мочу и кал и анализ крови из вены берут

Конечно есть - всё как у людей и анализы, и узкие специалисты ( кардиологи, дерматологи, ортопеды...) .
А как Вы думаете собакам и кошкам диагнозы ставят, на глазок?))))))))

Нужно при патологии

Кошачий кал на анализ берут просто из лотка с наполнителем. Естественно, если кал берут на бактериологический анализ - наполнитель сам не должен содержать микроорганизмов: если, скажем, вы привыкли сыпать в лоток просто землю или песок с улицы - придётся разориться на настоящий покупной наполнитель (например, цеолит).
Для забора мочи на анализ, продают специальный не впитывающий мочу наполнитель в виде шариков какого-то прозрачного полимера (возможно, это полистирол или оргстекло). Надо дождаться, чтобы кот справил нужду, и сразу отсосать мочу пластиковой пипеткой в микропробирку - то и другое входит в комплект. (Наполнитель можно промыть и использовать повторно, но пробирку и, возможно, пипетку придётся покупать отдельно). Мы отдали за такой комплект 250 рублей.