Геометрия. Используя прямоугольный треугольник с углом 30°, найдите tg 15°.

Имеем: sin 30 = 1/2

Это можно доказать, проведя в прямоугольном треугольнике прямую
из вершины прямого угла под углом 60 градусов к меньшему катету.
Получаем два треугольника -
один - равносторонний. одна из сторон которго - меньший катет,
второй - равнобедренный.одна из сторон которого - больший катет.
Дегко видеть, что меньший катет (лежит против угла 30 градусов) составляет половину гипотенузы,
что и означает,что sin 30 = 1/2

Имеется соотношение (sin^2 (x) это sin (x) в квадрате) :
sin^2 (x) + cos^2(x) = 1
Имеется формула для двойного угла
sin (2x) = 2*sin (x) * cos (x)
Поэтому
sin (2x) = 2*sin (x) * cos (x) = 2*sin (x) * cos (x) / 1 =
= 2*sin (x) * cos (x) / ( sin^2 (x) + cos^2(x) ) =
= 2*tg (x) / ( 1 + tg^2 (x) )
Полагаем 2х = 30, то есть х = 15,
получаем уравнение
1/2 = 2*tg (15) / ( 1 + tg^2 (15) )
обозначим у=tg (15), получаем
1/2 = 2*у / ( 1 + у^2 ) или
у^2 - 4у +1 = 0
Решая это квадратное уравнение , получаем
у1 = 2 + sqrt(3),
у2 = 2 - sqrt(3)
(здесь sqrt(3) - квадратный корень из 3)

Но у = tg (15) должен быть меньше 1 ( так как против угла 15 градусов
в треугольнике находится мньший катет), поэтому решение
у = tg (15) = 2 - sqrt(3)