ЕА
Екатерина Акимушкина
Морфемно-орфографический словарь А. Н. Тихонова даёт такое членение данного слова:
ку/ку́/шк/а – корень/корень/суффикс/окончание, основа слова – кукушк-.
Это и понятно, так как однокоренные слова кукую, кукование, ку-ку.
_______________________________________________________________
На открывшейся по ссылке странице смотрите в разделе «Орфография и орфоэпия» запись в Морфемно-орфографическом словаре.
кукуш - корень
к - суффикс
а - окончание
Корень КУКУШ, суффикс К, окончание А, Основа слова КУКУШК.
Корень-кукуш, к-суффикс, а-окончание