За какое время укореняется черенок туи?

Любые черенки укореняются приблизительно от 2-х недель до месяца, долее ждать уже бесполезно.
На фото у вас не черенок, а саженец и судя по отсутствию новых (беленьких) корешков, он в замершем состоянии. Попробуйте создать ему максимум комфорта для укоренения (прочтёте в советах по выращиванию хвойников) , возможно ещё укоренится.