могу ли я работать в банке обслуживать частных лиц, с классификацией бухгалтер?

Не классификация у Вас, а квалификация. Уж это-то про самого себя знать надо. Работать в банке Вы можете как бухгалтер, да и то, только после того, как обучитесь работе с банковской бухгалтерской документацией, поскольку в банках она сильно отличается от обычных бухгалтерских форм. А кредитным специалистом Вас, извините, никто не возьмет. Для этого нужно заканчивать профиль "Финансы и кредит"