Начало:
listbox1.Items.BeginUpdate;
listbox2.Items.BeginUpdate;
Вариант 1:
listbox1.Items.Add(listbox2.Items.Strings[listbox2.Items.IndexOf('SomeItem')]);
// если надо удалить элемент
listbox2.Items.Delete(listbox2.Items.IndexOf('SomeItem'));
Вариант 2:
// скопировать в первый список выбранный элемент во втором списке
listbox1.Items.Add(listbox2.Items.Strings[listbox2.ItemIndex]);
// если надо удалить выбранный элемент
listbox2.DeleteSelected;
Конец:
listbox1.Items.EndUpdate;
listbox2.Items.EndUpdate;
P.S. Вместо Add можно использовать Insert, если нужно вставить в определенную позицию в списке
istbox2.items:=listbox1.items; все строки.
istbox2.items:=listbox1.items[ListBox1.itemindex] первая строка
procedure TForm1.ListBox1Click(Sender: TObject); при выборе в лист боксе
var s:string;
begin
s:=(listbox1.Items[ListBox1.itemindex]); записываем строку в переменную
listbox2.Items.Add(s); добавляем в новую строку листбокса2, выбранную строку листбокса1