Официально в фирме не устроена. Могу ли сделать фиктивную запись в трудовой книжке о работе в данной компании?

Нет! Запись в конечном итоге будет проверяться в пенсионном фонде (есть ли перечисления взносов от работодателя) Подлог обязательно вскроется!