Высота правильной треугольной пирамиды равна 3, двугранный угол при основании равен 60 градусам. Найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара.
По определению в основании лежит равносторонний треугольник, а грани равные равнобедренные треугольники. V=(h*a^2)/4*3^(1/2);
Через ребро и высоту пирамиды проводим плоскость. В сечении рассмотрим прямоугольник, образованный высотой h, апофемой A и проекцией апофемы на плоскость основания Апр. A=h/Sin 60*=2*3^(1/2);
Апр=3^(1/2) Лежит против угла в 30 гр. Тогда радиус вписанного шара r=1/2 Апр*tg 30*=1/2; Объем шара 4/3pi r^3=1/6pi. Из равностороннего треугольника основания Апр/(а/2)=tg30*. a=6; V=3*6^2/4*3^(1/2)=9*3^(1/2);
⇢