В девятом классе это объясняют примерно так: определённый интеграл - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции.
Пусть у нас есть какая-то величина, которая меняется со временем - например, скорость при неравномерном движении.
А нам необходимо найти путь, пройденный телом. Вот это и делается с помощью интеграла.
Формально для этого составляется интегральная сумма - мы разбиваем процесс движения тела на маленькие промежутки по времени - по миллисекунде, например - Δt = 0,001 мс. Измеряем во время этой миллисекунды скорость, получаем какое-то её значение V1. Считаем, что за такое время скорость почти не изменяется, то есть движение на каждом промежутке равномерное. Тогда путь на этом небольшом отрезочке Δt будет Δs1 = V1 Δt.
Потом переходим к следующей точке, там скорость уже меняется и Δs2 = V2 Δt и так далее по всему пути.
Весь путь будет приближённо равен сумме этих маленьких отрезков s = Σ (VΔt).
На графике это означает, что плавная кривая заменяется набором чёрточек, а площадь под кривой покрывается узенькими "столбиками".
Понятно, что скорость никогда не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется, поэтому чем чаще мы будем измерять её очередное значение, тем точнее вычислим путь.
Поэтому интеграл - это предельный случай, когда мы берём значение в каждой точке, то есть когда Δt -> 0.
Это и записывается как интеграл:
s ≈ Σ (VΔt) -> ∫ V dt
При этом V = ds/dt - скорость есть производная пути по времени.
Получается, что мы, вычисляя площадь, в каждой точке графика заменяем какую-то криволинейную функцию прямой (её производной) .
Фактически с этого и начинают вычисление интеграла.
Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию.
Чтобы вычислить интеграл, нужно найти первообразную подынтегральной функции в двух точках - на границах, указанных при интеграле (время начала движения - время окончания движения) .
Пусть, например, тело свободно падает из состояния покоя.
Тогда его скорость будет зависеть от времени как V = gt.
Чтобы найти путь тела, нам нужно найти такую функцию, производная которой равна gt - это функция gt²/2 (что легко проверяется дифференцированием) .
Получаем известную формулу пути s = gt²/2.
Здесь и возникает связь с Δt.
Если скорость от времени не изменяется, то (её можно вынести за знак интеграла) путь будет равен s = VΔt = V(t2-t1).
Общих правил интегрирования нет.
Есть даже интегралы, которые невозможно записать в элементарных функциях, но в школе такие не встретятся.
Для распространённых функций существуют таблицы интегралов (легко гуглится).