Институт академии и филиал академии - это одно и то же?

Понятия "институт академии" не существует - это совершенно разные формы высших учебных заведений.
И у институтов и у академий могут быть филиалы, но так чтобы институт был подконтролен академии - это бред.

Особенность академии и её отличие от университета как раз в том, что академия конкретно специализирована и не может делиться на институты, работающие по разным направлениям. Так что, понятие "институт академии" - это нонсенс. Филиал академии (так же как и университета) - это его отделение в другом городе. Таким образом институт и филиал - это не одно и то же: университеты делятся на институты по направлениям профессионального обучения, а на филиалы университеты и академии делятся по региональному (территориальному) признаку.