правильно ли написано в предложении "Я останусь при своем мнении" слово мнение. правильно\неправильно-то почему???

Написано правильно – по правилу:

§36. Окончания имен существительных

В существительных, имеющих перед падежными окончаниями гласный И, пишется в предложном падеже единственного числа (у слов женского рода также в дательном падеже) буква И, например: на лезвиИ, о гениИ

(в школе – это сущ. , окончивающееся на –ИЕ (мнение)