Сначала заметим, что суммой двух последовательных чисел число 100 не получить, т. к. из двух последовательных, одно будет чётным, а другой нечётным, и их сумма обязательно будет нечётным числом. Если же сложить 3 последовательных натуральных числа: n+n+1+n+2, то их сумма 3n+3 будет обязательно делиться на 3, следовательно, и здесь мы число 100 не получим. Для четырёх слагаемых окажется, что их сумма n+n+1+n+2+n+3=4n+6 даёт остаток 2 при делении на 4, а 100 делится на 4 нацело, итак, и здесь неудача.
Рассмотрим в общем случае сумму k последовательных натуральных чисел.
n+n+1+n+2+...+n+k-1=kn+k(k-1)/2
Отсюда видно, что при нечётных k сумма будет делиться на k, а при чётных k сумма k последовательных натуральных чисел будет давать остаток k/2 при делении на k, и, следовательно, будет делиться на k/2.
Выясним теперь, какое наибольшее количество последовательных слагаемых может образовать сумму в 100. Поскольку наименьшая по величине сумма из 14-ти слагаемых 1+2+...+14=14*15/2=105>100, то достаточно перебрать все k, не большие 13-ти. Из нечётных подходит только 5, т. к. на 7, 9, 11 или 13 число 100 не делится. Из чётных подходит только 8 (100=12*8+4).
Можно привести и соответствующие разбиения:
100=18+19+20+21+22
100=9+10+11+12+13+14+15+16
Назовем представление 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел хорошим, если нельзя подчеркнуть одно или несколько слагаемых с суммой 2. Какое наибольшее число слагаемых может быть в хорошей сумме?