Скажите, какая основная мысль должна прийти в голову чтобы взять интеграл 2^x*e^xdx

по частя решается легко.
u=2x
dv=e^x*dx
du=2dx
v=e^x
дальше по формуле
в ответе должно получиться 2x*e^х-2e^x+C

возьми его по частям
u=e^x....v'=2^x dx
u'=e^x dx....v=(2^x)/ln2
INT=(e^x *2^x)/(1+ln2)
все