Посоветуйте недорогую цифровую мыльницу с нормальным качеством съемки и с питанием от аккумулятора, а не батареек АА.

Вместо батареек АА можно использовать аккумуляторы размером АА, и желательно иметь заряженный запасной комплект.

Недорого - это сколько?

Nikon 1 J2 kit (10-30mm VR) Red - 400 долл.
Fujifilm FinePix HS20EXR - 300 долл.
Если надо дешевле - то любой на Ваш вкус (что в руку ляжет).

У всех недорогих цифромыльниц качество фото при прочих равных условиях будет примерно одинаковым.