делается ли запись в трудовой книжке до подписания трудового договора?

обычно запись в трудовую делают в течение 3 дней после трудоустройства.

Нет. Запись в Трудовую книжку делается на основании Трудового договора (Контракта).. . И никак не наоборот...

Что там Тебе будет писаться если до подписания Договора у Вас с работодателем нет никаких отношений! Нет конечно.