В МГТУ есть факультет, где можно впоследствии стать инженером-программистом?

Есть. Сразу три кафедры под общим наименованием НУК "Информатика и системы управления".
Подробнее смотрите тут: http://www.bmstu.ru/mstu/admissions/full-time/faculties/