помогите с ответом . какая связь функции гамильтона с законами сохранения?

По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.
В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил

H = T + U
т. е. функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не через скорости.

p i` = - dH/dqi; qi` = dHi/dp: (импульсы и координаты – обобщенные)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы с течением времени в том смысле, что зная значение обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая данную систему уравнений.

` - производные по времени. Например : ф-ция не зависит от координат – сохранется импульс.