Почему фрукты - сливы, а молочный продукт - сливки? Отчего произошли эти слова?

То что сливают с молока и есть сливки.
Они образуются на поверхности жирного молока.
В современных условиях их (сливки) отделяют от молока сепаратором. А раньше просто сливали, снимали с верхнего слоя.

Этимология слова СЛИВА. Общеслав. Название дереву дано, вероятно, по синему цвету плодов (ср. родств. лат. liveo "синею", livor "синий цвет").