как написать на C++ вот такую программу ?

написать функцию, возвращающую значение определённого интеграла от выбранного вами выражения на задаваемом промежутке, само подынтегральное выражение можно жёстко зашить в вашу функцию. Для численного (т.е. не через первообразную!) интегрирования можете использовать любой метод, какой хотите:. (самый простой - метод прямоугольников).