Пусть N – натуральное четырехзначное число, в десятичной записи которого нет одинаковых цифр, а разность двух натуральных двузначных чисел, составленных из двух последовательных первых цифр и двух последовательных последних цифр числа, равна сумме всех цифр числа N.
Общее количество таких чисел равно ..
Пусть четырехзначное число - abcd.
Составляем уравнение:
a + b + c + d = 10*a + b - 10*c - d
9*a - 11*c = 2*d
d = (9*a - 11*c)/2
Подставляем в эту формулу такие а, чтобы d было целое число от 0 до 9.
Если а = 0, то и с = 0. Это не подходит, все цифры должны быть разные.
Если а = 1, то с = 0. Это не подходит, d - не целое.
Если а = 2, то с = 0, Иначе d - не целое или отрицательное.
В этом случае d = (9*2 - 11*0)/2 = 9.
Получаем число 2b09. Подставляем b такие, чтобы не совпадали с цифрами а, с, d, то есть b = 1,3,4,5,6,7,8.
То есть для а = 2 получили 7 чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Если а = 3, то с = 1, Иначе d - не целое или отрицательное или больше 9.
В этом случае d = (9*3 - 11*1)/2 = 8.
Получаем число 3b18. Подставляем b такие, чтобы не совпадали с цифрами а, с, d, то есть b = 0,2,4,5,6,7,9.
То есть для а = 3 получили 7 чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Для а = 4, с = 2, d = 7. b - не совпадающие с а, с, d 7 цифр.
а = 5, с = 3, d = 6.
а = 6, с = 4, d = 5.
а = 7, с = 5, d = 4.
а = 8, с = 6, d = 3.
а = 9, с = 7, d = 2.
Итого 8 вариантов а, для каждого 7 чисел, получаем 8*7 = 56 вариантов.
Проверяем любое число из найденных.
а = 6, с = 4, d = 5. Пусть b = 0.
Число 6045. Разность 60 - 45 = 15. сумма цифр = 15.
а = 8, с = 6, d = 3. Пусть b = 9
Число 8963. Разность 89 - 63 = 26. сумма цифр = 26.
Пусть число выглядит так: abcd, где a,b,c и d - не одинаковые цифры от 0 до 9.
Должны выполняться условия:
10a + b - 10c - d = a + b + c + d
9a - 11c - 2d = 0
Ответом будет количество корней этого уравнения. (кстати, с - всегда четное).
⇢