Часть речи слова (В) написанном

В вашем примере это существительное: В написанном нет ни одной ошибки

Как, например , и в словах (в) столовой, (в) мороженом.

Такие существительные образуются переходом из прилагательных, причастий.

И из др. частей речи могут (например: (во) всём я вижу... – это тоже сущ – из местоимения весь)

(Если бы у вас было В написанном сочинении, тогда было бы причастие)