Почему роман отцы и дети вызвал ожесточеные споры?

Потому что образ центрального героя (Базарова) очень противоречив, идеи, которые он выдвигает, неоднозначны и заставляют думать: например, о будущем России. Он говорит о том, что нужно всё разрушить до основания и строить новый мир с нуля. Не всем это понравится, естественно