Нужна доверенность отца, если ехать в Грузию с мамой?

Не нужно! Подробности смотрите на сайте Погранслужбы http://ps.fsb.ru/faq.htm

Требуется ли нотариально оформленное согласие на выезд из Российской Федерации от второго родителя, если ребенок выезжает совместно с одним из родителей.
В случае выезда из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации совместно с одним из родителей согласия на выезд ребенка за границу от второго родителя не требуется. (Основание ст. 20 Федерального закона от 15 августа 1996 г. № 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»)