показательная форма комплексного числа.

я не могу понять смысл применения здесь числа е. Мой уровень позволяет только сравнивать с популярным примером разъяснения смысла числа е, а именно: оно имеет место, когда рассматриваются примеры с непрерывно растущими процессами. И сам пример про вклад в банке в условиях непрерывной капитализации (вот он - непрерывный растущий процесс) : т. е. положив на год деньги под 100%, в таких условиях мы получим рост в 2,71...
Так вот, какой непрерывно растущий определяет число е, входящее в показательную форму записи комплексного числа?

если точнее, то мне хочется адаптировать пример про деньги под комплексную форму записи переменного тока, а лучше полного сопротивления. Исходный пример про деньги имеет за собой такие рассуждения: если я положил в банк 100р под 100% годовых при условии непрерывной капитализации, то получу в конце года примерно 271р. Числами это описывается так: 100 * ехр (к1*к2) =100 * 2,71; где к1 - процентная ставка (только не в процентах, а в частях прибыли, т. е. у нас единица) , к2 - срок вклада, на котором дают такие проценты.
Т. е. на этом примере я понимаю, что есть число е. Что оно - это общая черта всех непрерывно растущих процессов, так же как Пи - общая черта всех окружностей.

Теперь я хочу понять тоже самое про е, но на примере показательной формы записи тока, изменяющегося по закону синуса I*exp(j*альфа) , где альфа - начальная фаза. Ищу цепочку рассуждений, по типу примера с деньгами.

Но тут сложнее. В примере про деньги описывался рост, а здесь - изменение. причем в определенных пределах. В примере про ток я никогда не получу рост амплитудного значения в 2.71 раза!

я понял, это наверно тоже самое, что выразить площадь эллипса через Пи. У него же отношение длины к оси не будет равно 3.14, как у окружности отношение длины к диаметру, но тем не менее площадь описывается через Пи.

Так и в примере с комплексным током. здесь нет непрерывного роста, как эллипс - это не окружность. Но есть непрерывное изменение, как эллипс закруглен. Поэтому я могу выразить ток через e, а эллипс через Пи.

---------------------

писать оказалось легче, чем в голове держать рассуждения. Здесь я это делаю только за тем, что может быть кто-то тоже имеет подобные мысли. И еще, если что-то неверно, то меня поправят.

окончательно я со своими мыслями не разобрался, но из тупика вышел.