Как сделать всплывающее окно при наведении на ссылку курсора, но окно в СВОЕМ стиле

Конкретно на указанном тобой сайте это сделано с помощью JS-скрипта, если посмотришь исходный код, файл называется podskazka.js

Скрипт получает содержимое атрибута tooltip при наведении курсора на элемент, вставляет текст в блок с id=tooltip и привязывает его к курсору мыши, просчитывая ее координаты. Когда курсор с элемента уходит, блок получает свойство hidden, то есть прячется. Этому блоку можно задавать какие угодно стили при помощи CSS.