Что делать? И как такое может быть? Подтекает кран на кухне (у самого основания крана) даже при перекрытой воде.

поменяйте подкладку, возможно в самом кране недокручены шестигрнанные шайбы, возможно там гне носик входит в кран лопнула подскладка или же в месте где шланги заводяться тоже может быть течь

Да, такое бывает, воду перекрыть и менять кран. Менять подкладку. или что то еще.