обязательно писать индекс по улице города или можно индекс самого города

если индекс города, то дольше идти будет, т. к. сначала поступит на центр. почту, потом по адресу.

Пишется на конверте индекс почтового отделения, которое обслуживает район проживания адресата. В интернете по адресу можно найти индекс отделения связи