при подаче заявления о побоях. . Мед. Освидетельствование надо сразу или его можно позже пройти и приложить к заявлению?

Сразу естественно. Потом адвокат подозреваемого вас размотает по полной

Для медосвидетельствования нужно обращаться не в травпункт, а в бюро СМЭ, где будет определена степень тяжести вреда здоровью. Никаких направлений не нужно, освидетельстсование-платное.
А травпункт- лечебное учреждение, там оказывают медпомощь, никаких освидетельствований там не проводят.

а если вас избили полицейские, то делать это вообще бесполезно, так как всё это проходит через саму же полицию.

если сами в суд подаете то все документы сразу