Найти полный Дифференциал от уравнения идеального газа.

Кривая функции от одной переменной отображается на плоскости, а производная - это число = наклону касательной.
И в этом случае dy/dx получается из 2-х дифференциалов.
В задаче даны три дифференциала.
Если две переменных x и y задают третью, то это уже в трехмерном пространстве, что-то вроде горы или торта. Гору можно резать или в направлении оси x или в направлении оси y, сечения и наклоны будут даже в одной точке разные (частные производные) , а настоящий наклон - это наклон плоскости, касающейся горы в данной точке. Это и есть полный дифференциал.
А когда пространство ещё сложнее, то и в уме не представить, поэтому математические правила дают формальный и простой способ решения.
Ужов написал выражение для обобщенной функции, величина которой всегда равна нулю, не меняется. Этому соответствует вид
U(P,V,T) = PdV + VdP - M/mRdT =0
Полный дифференциал как результат получается единственным, не путать с несколькими способами. Дифференцировать же функцию можно не только по указанным переменным, а вообще по любым таким переменным, которые могут быть заданы как зависимости-функции.
y(x)=x^8 +1
можно дифференцировать просто по х (будет 8*x^7)
а можно дифференцировать по z=x^4 (будет 2z или 2*x^4*z' или 2*x^4*4*x^3)
Сами теперь понимаете, что такие промежуточные функции могут сильно упрощать решение.
Если бы переменная z имела реальный физический смысл, то на шаге 2z можно было бы остановиться!
Вот в этом и есть разница для тех, кто в переменной z видит смысл.
Переменная z может выражать ось каких-то других координат, в которых производная заданной функции равна 2z то есть прямая!
В физике и инженерии очень часто придумывают такие графики-зависимости.
Пересчитывают из одних координат в другие.