что надо сделать чтобы родители купили котёнка?

Ничего) купи сам)

спросить у них, сказать что ты также член семьи и берешь на себя всю ответственность по уходу.
если они тебе хотят выдвинуть требования, ты готов их выполнить.

Сначала - обидится, второе - ругаться с ними!

Котенок это не игрушка, если родители не хотят, значит на это есть причина .

Смотря с кем живёте: ) у самой такая же проблема была да теперь не котёнок а морская свинка прикольная советую её навсякий лучше котёнка посмотри на сайтах. Если вы живёте мама папа ты бабушка дедушка (брат или сестра это тоже обязательно) то считай пропал твой котёнок так как ты в школе сестра ну или брат в садике или в школе мама папа на работе и остаются бабушка и дедушка им всё на плечи. А это же твой котёнок! Нужно такое животное чтобы оно не бегало по квартире ну кролика или попугая тоже весёлый чувак.

Сделать так, чтобы они сами захотели. Тогда купят.

Принятие живности на баланс, это и принятие ответственности и содержания. То есть ты должен сам ухаживать за животиной, а не твоя семья. Ты способен?

нассы им в тапки

Принеси бездомного, но смотри, чтобы родные не сказали тебе "спасибо" за аллергию. Животные - это не игрушка и уж если ты взял, то это как член семьи, которого ни при каких обстоятельствах нельзя бросать.